Question

在下面表格中的n行n列空格內(nèi)，第1行均已填上1，第1列依次填入首項為1，公比為q的等比數(shù)列的前n項，其他各空格均按照“任意一格內(nèi)的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左面一格數(shù)之和”的規(guī)則填寫．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q2
…	…
第n行	qn-1

（Ⅰ）設(shè)第2行的數(shù)依次為a₁，a₂，a₃，…，a_n，試用n，q，表示a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n的值；
（Ⅱ）是否存在著q，使得除第1列外，還有不同的兩列數(shù)的前三項各自依次成等比數(shù)列？若存在，請求出q的值，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設(shè)第3列的數(shù)依次為b₁，b₂，b₃，…，b_n，對于任意非零實數(shù)q，求證：b₁+b₃＞2b₂．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）依題意，可求得a₂=1+q，a₃=1+（1+q）=2+q，…，a_n=（n-1）+q，從而可求得a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n的值；
（Ⅱ）若第k+1列的前三項成等比數(shù)列，則由等比中項的定義列式可解出q=

1-k

2

，同理當(dāng)?shù)趍+1列的前三項成等比數(shù)列時，有q=

1-m

2

成立．由k≠m可得以上兩個式子不能同時成立，因此無論怎樣的q都不能同時找出除1列外的其他兩列，使它們的前三項都成等比數(shù)列．
（Ⅲ）利用作差法，即可證明．

解答： 解：（Ⅰ）a₁=q，a₂=1+q，a₃=1+（1+q）=2+q，…，a_n=（n-1）+q，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n=1+2+…+（n-1）+nq=

n(n-1)

2

+nq；
（Ⅱ）設(shè)x₁，x₂，x₃和y₁，y₂，y₃分別為第k+1列和第m+1列的前三項，1≤k＜m≤n-1，
則x₁=1，x₂=k+q，x₃=（1+2+…+k）+kq+q²=

k(k+1)

2

+kq+q²
若第k+1列的前三項x₁，x₂，x₃是等比數(shù)列，則x₁x₃=x₂²
∴

k(k+1)

2

+kq+q²=（k+1）²，解得q=

1-k

2

同理，若第m+1列的前三項y₁，y₂，y₃是等比數(shù)列，則q=

1-m

2

∵當(dāng)k≠m時，

1-k

2

≠

1-m

2

∴無論怎樣的q，都不能同時找出除1列外的其他兩列，使它們的前三項都成等比數(shù)列；
（Ⅲ）證明：∵b₁=1，b₂=2+q，b₃=3+2q+q²，
∴b₁+b₃-2b₂=q²＞0，
∴b₁+b₃＞2b₂．

點評：本題給出關(guān)于數(shù)列的二維表格，求第二行的第n項的通項公式并求前n項和，求第三列的通項滿足的條件并討論第k列的前三項成等比的問題．著重考查了等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、不等式的證明與數(shù)列的應(yīng)用等知識點，屬于中檔題．