Question

設(shè)正三角形A₁B₁C₁邊長(zhǎng)為a，分別取B₁C₁，C₁A₁，A₁B₁的中點(diǎn)A₂，B₂，C₂，記a₁是正三角形A₁B₁C₁除去△A₂B₂C₂后剩下的三個(gè)內(nèi)切圓面積之和，依此類推：記a_n是△A_nB_nC_n除去△A_n+1B_n+1C_n+1后剩下的三個(gè)三角形內(nèi)切圓面積之和，從而得到數(shù)列{a_n}，設(shè)這個(gè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．
（1）求a_n 和a₁；
（2）求S_n，并證明S_n＜

πα2

12

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）正三角形△A₁B₂C₂的內(nèi)切圓半徑為r=

1

3

( 1 2 a)2-( 1 4 a)2

×

1

3

=

3

12

a，從而a1=π×(

3

12

a)2×3=

9πa2

144

，由△A₂B₂C₂與△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，則面積的比是1：4，依此類推△A_nB_nC_n與△A_n-1B_n-1C_n-1的面積的比是1：4，從而求出a_n=

9πa2

144

×（

1

4

）^n-1．
（2）由S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

9πa2

144

[1+

1

4

+(

1

4

)2+…+(

1

4

)n-1]，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出S_n，并能證明S_n＜

πα2

12

．

解答： 解：（1）∵正三角形△A₁B₂C₂的邊長(zhǎng)為

1

2

a，
內(nèi)切圓半徑為r=

1

3

( 1 2 a)2-( 1 4 a)2

×

1

3

=

3

12

a，
∴a1=π×(

3

12

a)2×3=

9πa2

144

，
∵△A₂B₂C₂與△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
則面積的比是1：4，∴a₂=

9πa2

144

×

1

4

，
∵正△A₃B₃C₃與正△A₂B₂C₂的面積的比也是1：4，∴a₃=

9πa2

144

×（

1

4

）²，
依此類推△A_nB_nC_n與△A_n-1B_n-1C_n-1的面積的比是1：4，
∴a_n=

9πa2

144

×（

1

4

）^n-1．
（2）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=

9πa2

144

[1+

1

4

+(

1

4

)2+…+(

1

4

)n-1]
=

9πa2

144

×

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

πa2

12

（1-

1

4n

）．
∵1-

1

4n

＜1，∴S_n＜

πα2

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的首項(xiàng)和通項(xiàng)公式的求法，考查前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要注意三角形面積公式的合理運(yùn)用．