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已知函數f（x）=x2+1的圖象在點A（x1，f（x1））與點B（x2，f（x2））處的切線互相垂直，并交于點P，則點P的坐標可能是（　�。�
A、（
3
4
，2）
B、（0，
1
4
）
C、（1，3）
D、（1，
3
4
）
考點：利用導數研究曲線上某點切線方程
專題：計算題,導數的概念及應用,直線與圓
分析：由已知函數解析式求得A，B的坐標，求出原函數的導函數，得到函數在A，B兩點出的導數值，由圖象在點A（x1，f（x1））與點B（x2，f（x2））處的切線互相垂直得到x1x2=-
1
4
，由點斜式寫出過A，B兩點的切線方程，通過整體運算求得y=x1x2+1=
3
4
，即P點縱坐標為
3
4
，然后逐一核對四個選項可得答案．
解答： 解：由題意可知，A（x1，x12+1），B（x2，x22+1）（x1≠x2），
由f（x）=x2，+1，得f′（x）=2x，
則過A，B兩點的切線斜率k1=2x1，k2=2x2，
又切線互相垂直，
∴k1k2=-1，即x1x2=-
1
4
．
兩條切線方程分別為l1：y=2x1x-x12+1，l2：y=2x2x-x22+1，
聯立得（x1-x2）[2x-（x1+x2）]=0，
∴2x-（x1+x2）=0，x=
x1+x2
2
．
代入l1得，y=x1x2+1=1-
1
4
=
3
4
，
結合已知選項可知，P點坐標可能是D．
故選：D．
點評：本題考查利用導數研究曲線上某點處的切線方程，曲線上在某點處的切線的斜率，就是該點處的導數值，考查了整體運算思想方法，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

把函數y=f（x）的圖象沿著直線x+y=0的方向向右下方平移2
2
個單位，得到函數y=sin3x的圖象，則y=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數y=f（x）圖象上不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）處的切線的斜率分別是kA，kB，規(guī)定φ（A，B）=
|kA-kB|
|AB|
叫曲線y=f（x）在點A與點B之間的“彎曲度”，給出以下命題：
（1）函數y=x3-x2+1圖象上兩點A、B的橫坐標分別為1，2，則φ（A，B）＞
3
；
（2）存在這樣的函數，圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數；
（3）設點A、B是拋物線，y=x2+1上不同的兩點，則φ（A，B）≤2；
（4）設曲線y=ex上不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1-x2=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，則實數t的取值范圍是（-∞，1）；
以上正確命題的序號為
 
（寫出所有正確的）

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，在△ABC中，D為AB的中點，F在線段CD上，設
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AF
=x
a
+y
b
，則
1
x
+
2
y
的最小值為（　　）
A、8+2
2
B、8
C、6
D、6+2
2

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
log2x(0＜x＜2)
(
1
2
)x+
3
4
(x≥2)
，若函數g（x）=f（x）-k有兩個不同的零點，則實數k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知m＞0，n＞0，向量
a
=（1，1），
b
=（m，n-1），且
a
⊥
b
，則
2
m
+
4
n
的最小值是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

解不等式：sinx≤-
1
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=2cosx（x∈[-π，π]）的圖象大致為（　�。�
A、
B、
C、
D、

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科目：高中數學 來源： 題型：

設正三角形A1B1C1邊長為a，分別取B1C1，C1A1，A1B1的中點A2，B2，C2，記a1是正三角形A1B1C1除去△A2B2C2后剩下的三個內切圓面積之和，依此類推：記an是△AnBnCn除去△An+1Bn+1Cn+1后剩下的三個三角形內切圓面積之和，從而得到數列{an}，設這個數列{an}的前n項和Sn．
（1）求an 和a1；
（2）求Sn，并證明Sn＜
πα2
12
．

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