Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R且a≠0），若f（-1）=0，且對任意實(shí)數(shù)x不等式f（x）≥0恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=0，可得a=b-1，結(jié)合對任意實(shí)數(shù)x不等式f（x）≥0恒成立，可得a＞0且△=b²-4a≤0，聯(lián)立可得（b-2）²=0，由此求得a，b的值；
（2）由函數(shù)g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上為單調(diào)函數(shù)，可得g（x）=x²+（2-k）x+1在[-2，2]上為單調(diào)函數(shù)，由對稱軸的范圍求得實(shí)數(shù)k取值范圍．

解答 解：（1）∵f（-1）=0=a-b+1=0，∴a-b+1=0，得a=b-1---①，
又∵對任意實(shí)數(shù)x不等式f（x）≥0恒成立，
∴函數(shù)f（x）=ax²+bx+1的圖象開口向上，且與x軸的最多有一個(gè)交點(diǎn)，
得a＞0且△=b²-4a≤0---②，
由①代入②得：b²-4b+4=0，即（b-2）²=0，
∴b=2，從而a=1； 
（2）由（1）知f（x）=x²+2x+1，
∴g（x）=x²+（2-k）x+1，
若函數(shù)g（x）在[-2，2]上為單調(diào)函數(shù)，則有$-\frac{2-k}{2}≤-2$或$-\frac{2-k}{2}≥2$．
解得k≤-2或k≥2，
∴k∈（-∞，-2]∪[6，+∞）時(shí)，函數(shù)g（x）在[-2，2]上為單調(diào)函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查恒成立問題，考查二次函數(shù)性質(zhì)的用法，考查二次函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．