Question

17．將單位圓經(jīng)過伸縮變換：φ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=μy}\end{array}\right.$（λ＞0，μ＞0）得到曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1
（1）求實(shí)數(shù)λ，μ的值；
（2）以原點(diǎn)O 為極點(diǎn)，x 軸為極軸建立極坐標(biāo)系，將曲線C 上任意一點(diǎn)到極點(diǎn)的距離ρ（ρ≥0）?表示為對應(yīng)極角θ（0≤θ＜2π）的函數(shù)，并探求θ為何值時，ρ取得最小值？

Answer 1

分析 （1）由題意可知實(shí)數(shù)λ，μ的值，
（2）求出極坐標(biāo)方程，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．

解答 解：（1）由：φ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=μy}\end{array}\right.$（λ＞0，μ＞0）得到曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，即為（$\frac{x}{2}$）²+（$\frac{y}{\sqrt{2}}$）²=1
∴$\left\{{\begin{array}{l}{λ=2}\\{μ=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$，
（2）$ρ=\frac{2}{{\sqrt{{{cos}^2}θ+2{{sin}^2}θ}}}=\frac{2}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$，
故當(dāng)$θ=\frac{π}{2}$時，ρ_min=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查伸縮變換，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．