Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ）求f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈[

1

e

，e]使不等式2f（x）≥g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)性和區(qū)間，討論所給的區(qū)間和求出的單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系，在不同條件下做出函數(shù)的最值；
（Ⅱ）2f（x）≥g（x）可化為2lnx+x+

3

x

≥a，令h（x）=2lnx+x+

3

x

，則問(wèn)題等價(jià)于h（x）_max≥a，利用導(dǎo)數(shù)可求得x∈[

1

e

，e]時(shí)h（x）_max；

解答：解：（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0得x=

1

e

，
當(dāng)x∈（0，

1

e

）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（

1

e

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
①當(dāng)0＜t＜t+2≤

1

e

時(shí)，t無(wú)解；
②當(dāng)0＜t＜

1

e

＜t+2時(shí)，即0＜t＜

1

e

時(shí)，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
③當(dāng)

1

e

≤t＜t+2時(shí)，即t≥

1

e

時(shí)，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴f（x）_min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

．
（Ⅱ）x∈[

1

e

，e]時(shí)，
2f（x）≥g（x）即2xlnx≥-x²+ax-3，亦即2lnx≥-x+a-

3

x

，可化為2lnx+x+

3

x

≥a，
令h（x）=2lnx+x+

3

x

，則問(wèn)題等價(jià)于h（x）_max≥a，
h′（x）=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，
當(dāng)x∈[

1

e

，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減；當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；
又h（

1

e

）=2ln

1

e

+

1

e

+3e=3e+

1

e

-2，h（e）=2lne+e+

3

e

=e+

3

e

+2，
而h（e）-h（

1

e

）=-2e+

2

e

+4＜0，所以h（e）＜h（

1

e

），
故x∈[

1

e

，e]時(shí)，h（x）_max=h（

1

e

）=3e+

1

e

-2，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是：a≤3e+

1

e

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．