如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).

(1)證明:B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;
(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長.
(1)見解析   (2)   (3)
解:本題可通過建立空間坐標(biāo)系求解.
如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).

(1)證明:易得=(1,0,-1),=(-1,1,-1),于是·=0,∴B1C1⊥CE.
(2)=(1,-2,-1).
設(shè)平面B1CE的法向量m=(x,y,z),
,即
消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一個(gè)法向量為m=(-3,-2,1).
由(1),B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,故=(1,0,-1)為平面CEC1的一個(gè)法向量.
于是cos〈m,〉==-,從而sin〈m,〉=
故二面角B1-CE-C1的正弦值為.
(3)=(0,1,0),=(1,1,1).
設(shè)=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有=(λ,λ+1,λ).可取=(0,0,2)為平面ADD1A1的一個(gè)法向量.
設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角,則
sinθ=|cos〈〉|=
.
于是,解得λ= (λ=-舍去),
∴AM=.
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;
;
③直線與平面所成的角為;
.
其中正確的結(jié)論是( )
A.①③B.②④C.①③④D.①②③④

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A.平行B.相交
C.異面垂直D.異面不垂直

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