Question

已知過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，直線OM、ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別與準(zhǔn)線相交于P、Q兩點(diǎn)，則∠PFQ=（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：假設(shè)直線MN的方程與拋物線方程聯(lián)立，判斷MQ⊥PQ，NP⊥PQ，再利用拋物線的定義可得相等的角，進(jìn)而可求∠PFQ=90°
解答：解：由題意，設(shè)直線MN的方程為：
代入拋物線y²=2px（p＞0），可得y²-2mpy-p²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵OM的方程為：，ON的方程為：，直線OM、ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別與準(zhǔn)線相交于P、Q兩點(diǎn)
∴，∴
∵
∴，
∴MQ⊥PQ，NP⊥PQ，
∴∠MQF=∠QFO，∠NPF=∠PFO
∵過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)
∴MQ=MF，NP=NF
∴∠MQF=∠MFQ，∠NFP=∠NPF
∴∠PFQ=90°
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的過(guò)焦點(diǎn)弦，計(jì)算要小心，屬于中檔題．