Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在實數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（3）當(dāng)x∈（0，e]時，證明：e2x2-

5

2

x＞(x+1)lnx．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)可得到其導(dǎo)函數(shù)在[1，2]上小于等于0應(yīng)該恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得a的范圍．
（2）先假設(shè)存在，然后對函數(shù)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，再對a的值分情況討論函數(shù)g（x）在（0，e]上的單調(diào)性和最小值取得，可知當(dāng)a=e²能夠保證當(dāng)x∈（0，e]時g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e²x-lnx結(jié)合（2）中知F（x）的最小值為3，再令?(x)=

lnx

x

+

5

2

并求導(dǎo)，再由導(dǎo)函數(shù)在0＜x≤e大于等于0可判斷出函數(shù)?（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，從而可求得最大值也為3，即有e2x-lnx＞

lnx

x

+

5

2

成立，即e2x2-

5

2

x＞(x+1)lnx成立．

解答：解：（1）f′(x)=2x+a-

1

x

=

2x2+ax-1

x

≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有

h(1)≤0 h(2)≤0

得

a≤-1 a≤- 7 2

，
得a≤-

7

2

（2）假設(shè)存在實數(shù)a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

①當(dāng)a≤0時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
②當(dāng)0＜

1

a

＜e時，g（x）在(0，

1

a

)上單調(diào)遞減，在(

1

a

，e]上單調(diào)遞增
∴g(x)min=g(

1

a

)=1+lna=3，a=e²，滿足條件．
③當(dāng)

1

a

≥e時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
綜上，存在實數(shù)a=e²，使得當(dāng)x∈（0，e]時g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e²x-lnx，由（2）知，F(xiàn)（x）_min=3．
令?(x)=

lnx

x

+

5

2

，?′(x)=

1-lnx

x2

，
當(dāng)0＜x≤e時，?'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上單調(diào)遞增
∴?(x)max=?(e)=

1

e

+

5

2

＜

1

2

+

5

2

=3
∴e2x-lnx＞

lnx

x

+

5

2

，即e2x2-

5

2

x＞（x+1）lnx．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．