已知函數(shù)f(x)=
αx
1+xα
(x>0,α
為常數(shù)),數(shù)列{an}滿足:a1=
1
2
,an+1=f(an),n∈N*.
(1)當(dāng)α=1時,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)在(1)的條件下,證明對?n∈N*有:a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=
n(n+5)
12(n+2)(n+3)

(3)若α=2,且對?n∈N*,有0<an<1,證明:an+1-an
2
+1
8
(1)當(dāng)α=1時,an+1=f(an)=
an
1+an
,兩邊取倒數(shù),得
1
an+1
-
1
an
=1
,----(2分)
故數(shù)列{
1
an
}
是以
1
a1
=2
為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,
1
an
=n+1
,an=
1
n+1
,n∈N*.--------------(4分)
(2)證法1:由(1)知an=
1
n+1
,故對k=1,2,3…akak+1ak+2=
1
(k+1)(k+2)(k+3)
=
1
2
[
1
(k+1)(k+2)
-
1
(k+2)(k+3)
]
-------------(6分)
∴a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2
=
1
2
[(
1
2×3
-
1
3×4
)+(
1
3×4
-
1
4×5
)+…+
1
(n+1)×(n+2)
-
1
(n+2)(n+3)
]

=
1
2
[
1
2×3
-
1
(n+2)(n+3)
]
=
n(n+5)
12(n+2)(n+3)
.------------------------------(9分).
[證法2:①當(dāng)n=1時,等式左邊=
1
2×3×4
=
1
24
,
等式右邊=
1×(1+5)
12×(1+2)×(1+3)
=
1
24
,左邊=右邊,等式成立;-------------------------(5分)
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時等式成立,
a1a2a3+a2a3a4+…+akak+1ak+2=
k(k+5)
12(k+2)(k+3)
,
則當(dāng)n=k+1時a1a2a3+a2a3a4+…+akak+1ak+2+ak+1ak+2ak+3=
k(k+5)
12(k+2)(k+3)
+
1
(k+2)(k+3)(k+4)

=
k(k+5)(k+4)+12
12(k+2)(k+3)(k+4)
=
k3+9k2+20k+12
12(k+2)(k+3)(k+4)

=
k2(k+1)+4(k+1)(2k+3)
12(k+2)(k+3)(k+4)
=
(k+1)(k+2)(k+6)
12(k+2)(k+3)(k+4)
=
(k+1)[(k+1)+5]
12[(k+1)+2][(k+1)+3]

這就是說當(dāng)n=k+1時,等式成立,----------------------------------------(8分)
綜①②知對于?n∈N*有:a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=
n(n+5)
12(n+2)(n+3)
.----(9分)]
(3)當(dāng)α=2時,an+1=f(an)=
2an
1+
a2n
an+1-an=
2an
1+
a2n
-an=an(1-an)
1+an
1+
a2n
,-------------------(10分)
∵0<an<1,
an+1-an=an(1-an)
1+an
1+
a2n
≤(
an+1-an
2
)2
1+an
1+
a2n
--------------------------------(11分)=
1
4
1+an
(1+an)2-2(an+1)+2
=
1
4
1
an+1+
2
an+1
-2
1
4
1
2
2
-2
=
2
+1
8
.--------------------(13分)
∵an=1-anan+1=
2
an+1
不能同時成立,∴上式“=”不成立,
即對?n∈N*,an+1-an
2
+1
8
.-----------------------------------------------------------(14分)
證法二:當(dāng)α=2時,an+1=f(an)=
2an
1+
a2n
,
an+1-an=
2an
1+
a2n
-an=
an-
a3n
1+
a2n
----------------------------------------------------(10分)
又0<an<1,∴
an+1
an
=
2
1+
a2n
>1
,
∴an+1>an,∴an∈[
1
2
,1),n∈N*------------------------------------------------(11分)
g(x)=
x-x3
1+x2
,x∈[
1
2
,1)
,則g′(x)=
-x4-4x2+1
(1+x2)2
,--------------------------(12分)
當(dāng)x∈[
1
2
,1),g′(x)<0
,所以函數(shù)g(x)在[
1
2
,1)
單調(diào)遞減,故當(dāng)x∈[
1
2
,1),g(x)≤
1
2
-(
1
2
)
3
1+(
1
2
)
2
=
3
10
2
+1
8
,所以命題得證------------------(14分)
所以命題得證-----------------------------------------(14分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3x+5,(x≤0)
x+5,(0<x≤1)
-2x+8,(x>1)
,
求(1)f(
1
π
),f[f(-1)]
的值;
(2)若f(a)>2,則a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x>7.
是定義域上的遞減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( �。�
A、(
1
3
,1)
B、(
1
3
,
1
2
]
C、(
1
3
,
6
11
]
D、[
6
11
,1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數(shù).則實(shí)數(shù)a的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x-2-x2x+2-x

(1)求f(x)的定義域與值域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(3)研究f(x)的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)
,其中實(shí)數(shù)a≠1.
(1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)若f(x)在x=1處取得極值,試討論f(x)的單調(diào)性.

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