Question

（2009•日照一模）已知離心率為

4

5

的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實(shí)軸，短軸為虛軸，且焦距為2

34

．
（I）求橢圓及雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)P，連結(jié)BP交橢圓于點(diǎn)M，連結(jié)PA并延長交橢圓于點(diǎn)N，若

BM

=

MP

．求四邊形ANBM的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程和雙曲線方程，由橢圓的離心率是

4

5

，雙曲線的焦距為2

34

聯(lián)立方程組求出a和b的值，則橢圓及雙曲線的方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的橢圓方程求出A和B的坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由

BM

=

MP

得M為BP的中點(diǎn)，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，把M的坐標(biāo)代入橢圓方程，把P的坐標(biāo)代入雙曲線方程，聯(lián)立后求出M和P的具體值，然后把四邊形ANBM的面積轉(zhuǎn)化為三角形ANB的面積求解．

解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
則根據(jù)題意，雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，且滿足

a2-b2 a = 4 5 2 a2+b2 =2 34

，解方程組得

a2=25 b2=9

∴橢圓的方程為

x2

25

+

y2

9

=1，雙曲線的方程

x2

25

-

y2

9

=1；
（Ⅱ）由（I）得A（-5，0），B（5，0），|AB|=10．
設(shè)M（x₀，y₀），則由

BM

=

MP

得M為BP的中點(diǎn)，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2x₀-5，2y₀），
將M、P坐標(biāo)代入橢圓和雙曲線方程，得

x02 25 + y02 9 =1 (2x0-5)2 25 - 4y02 9 =1

，
消去y₀，得2x02-5x0-25=0
解之得x0=-

5

2

或x₀=5（舍）
所以y0=

3 3

2

，由此可得M(-

5

2

，

3 3

2

)，
所以P(-10，3

3

)．
當(dāng)P為(-10，3

3

)時(shí)，直線PA的方程是y=

3 3

-10+5

(x+5)
即y=-

3 3

5

(x+5)．
代入

x2

25

+

y2

9

=1，得2x²+15x+25=0
所以x=-

5

2

或-5（舍），
所以xN=-

5

2

，x_N=x_M，MN⊥x軸．
所以SANBM=2S△ANB=2×10×

3 3

2

×

1

2

=15

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐曲線的方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，直線與圓錐曲線問題的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是難題．