【題目】定義在上的函數(shù),如果存在函數(shù)(為常數(shù)),使得對一切實數(shù)都成立,則稱為函數(shù)的一個承托函數(shù).給出如下命題:
① 函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù);
② 函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù);
③ 若函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù),則的取值范圍是;
④ 值域是的函數(shù)不存在承托函數(shù)。 其中,所有正確命題的序號是__.
【答案】②③
【解析】
解:
①,∵x>0時,f(x)=lnx∈(∞,+∞),
∴不能使得f(x)g(x)=2對一切實數(shù)x都成立,故①錯誤;
②,令t(x)=f(x)g(x),則t(x)=x+sinx(x1)=sinx+10恒成立,故函數(shù)g(x)=x1是函數(shù)f(x)=x+sinx的一個承托函數(shù),②正確;
③,令h(x)=exax,則h′(x)=exa,
由題意,a=0時,結(jié)論成立;
a≠0時,令h′(x)=exa=0,則x=lna,
∴函數(shù)h(x)在(∞,lna)上為減函數(shù),在(lna,+∞)上為增函數(shù),
∴x=lna時,函數(shù)取得最小值aalna;
∵g(x)=ax是函數(shù)f(x)=ex的一個承托函數(shù),
∴aalna0,
∴lna1,
∴0<ae,
綜上,0ae,故③正確;
④,不妨令f(x)=2x,g(x)=2x1,則f(x)g(x)=10恒成立,故g(x)=2x1是f(x)=2x的一個承托函數(shù),④錯誤;
綜上所述,所有正確命題的序號是②③。
正確的命題的個數(shù)為2.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準線于P,Q兩點.
(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明:AR∥FQ;
(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直三棱柱中,,分別是,的中點,,為棱上的點.
證明:;
證明:;
是否存在一點,使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為?若存在,說明點的位置,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織了一次新高考質(zhì)量測評,在成績統(tǒng)計分析中,某班的數(shù)學(xué)成績的莖葉圖和頻率分布直方圖因故都受到不同程度的損壞,但可見部分如下,據(jù)此解答如下問題:
5 | 6 | 8 | ||||||||
6 | 2 | 3 | 3 | 5 | 6 | 8 | 9 | |||
7 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
8 | ||||||||||
9 | 5 | 8 |
(1)求該班數(shù)學(xué)成績在的頻率及全班人數(shù);
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計該班這次測評的數(shù)學(xué)平均分;
(3)若規(guī)定90分及其以上為優(yōu)秀,現(xiàn)從該班分數(shù)在80分及其以上的試卷中任取2份分析學(xué)生得分情況,求在抽取的2份試卷中至少有1份優(yōu)秀的概率.
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【題目】如圖所示,在四棱錐中,已知平面平面,底面為梯形, ,且, , , , 在棱上且滿足.
(1)求證: 平面;
(2)求證: 平面;
(3)求點到平面的距離.
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【題目】設(shè)正項等差數(shù)列的前n項和為,已知且成等比數(shù)列
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若,求數(shù)列的前n項和;
(3)設(shè)數(shù)列滿足求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)在上的最值;
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,且經(jīng)過點.
(1)求橢圓方程;
(2)過點的直線與橢圓交于兩個不同的點,求線段的垂直平分線在軸截距的范圍.
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