（1）已知矩陣M=
20
0
1
2
，矩陣M對(duì)應(yīng)的變換把曲線y=x2變?yōu)榍�C，求C的方程．
（2）已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥2
3
．
分析：（1）設(shè)出曲線C上的任意一點(diǎn)P點(diǎn)，和曲線y=x2上的一點(diǎn)P0根據(jù)矩陣M對(duì)應(yīng)的變換求出P點(diǎn)與P0點(diǎn)的關(guān)系，從而求出C的方程．
（2）利用整體思想進(jìn)行求解，據(jù)平均值不等式可得
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
≥
3
abc
，兩邊再加上abc，然后再利用平均值不等式，即可求證．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y）是所求曲線C上的任意一點(diǎn)，它是曲線y=x2上的點(diǎn)P0（x0，y0）在矩陣M變換下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
則有（x，y）=（x0，y0）M，
∵矩陣M=
20
0
1
2
，代入可得
x=2x0
y=
1
2
y0
，
∴
x0=
1
2
x
y0=2y
，
∵點(diǎn)P0在曲線y=x2上，
∴2y=
1
4
x2，
∴C的方程為x2=8y；
（2）由于a，b，c為正實(shí)數(shù)，根據(jù)平均值不等式可得
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
≥
3
abc
，
∴
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥
3
abc
+abc≥2
3
，
即證．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二階矩陣的變換和均值不等式的應(yīng)用，要熟練掌握這方面的知識(shí)，這是高考的熱點(diǎn)問題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

本題設(shè)有（1）（2）（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中．
（1）已知矩陣M=
1a
b1
，N=
c2
0d
，且MN=
20
-20
，
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直線y=3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換下的像的方程．
（2）在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為
x=3-
2
2
t
y=
5
-
2
2
t
（t為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2
5
sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，
5
)，
求|PA|+|PB|．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x+5）≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知矩陣M=
0
1
1
0
，N=
0
1
-1
0
．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線2x-y+1=0在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線F，求曲線F的方程．
（2）在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心坐標(biāo)為C （2，
π
3
），半徑R=
5
，求圓C的極坐標(biāo)方程．
（3）已知a，b為正數(shù)，求證：
1
a
+
4
b
≥
9
a+b
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知矩陣M=
2  1
4  2
，向量
β
=
.
1 
7 
.
．
（1）求矩陣M的特征向量；
（2）計(jì)算M50
β
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知矩陣M=
2a
21
，其中a∈R，若點(diǎn)P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點(diǎn)P'（-4，0）
（i）求實(shí)數(shù)a的值；
（ii）求矩陣M的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量．
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓x2+y2-8xcosθ-6ysinθ+7cos2θ+8=0（a∈R）的圓心為P（x0，y0），求2x0-y0的取值范圍．
（3）已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且a+b+c+2-2m=0，a2+
1
4
b2+
1
9
c2+m-1=0．
①求證：a2+
1
4
b2+
1
9
c2≥
(a+b+c)2
14
；
②求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分
（1）已知矩陣M=
12
21
，β=
1
7
，（Ⅰ）求M-1；（Ⅱ）求矩陣M的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；（Ⅲ）計(jì)算M100β．
（2）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1+cosθ，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是（2，0），求曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形的周長(zhǎng)．
（3）已知a＞0，求證：
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2．

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