Question

從某批次的燈泡中隨機(jī)地抽取200個(gè)樣品，對其使用壽命進(jìn)行實(shí)驗(yàn)檢測，將結(jié)果列成頻率分布表如下．根據(jù)壽命將燈泡分成一等品、合格品和次品三個(gè)等級，其中壽命大于或等于500天的燈泡是一等品，壽命小于300天的燈泡是次品，其余的燈泡是合格品．

壽命（天）	頻數(shù)	頻率
[100，200）	20	a
[200，300）	30	0.15
[300，400）	b	0.35
[400，500）	30	0.15
[500，600）	50	0.25
合計(jì)	200	1

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出a，b的值；
（Ⅱ）從燈泡樣品中隨機(jī)地取n（n∈N*）個(gè)，如果這n個(gè)燈泡的等級分布情況恰好與從這200個(gè)樣品中按三個(gè)等級分層抽樣所得的結(jié)果相同，求n的最小值；
（Ⅲ）從這200個(gè)樣品中按三個(gè)等級分層抽樣抽取8個(gè)燈泡，再從這8個(gè)中抽取2個(gè)進(jìn)行檢測，求這2個(gè)燈泡中恰好一個(gè)是合格品一個(gè)是次品的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,頻率分布表

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由頻率分布表，得頻率之和為1，頻數(shù)之和為200，由此能求出a和b．
（Ⅱ）由表可知：燈泡樣品中優(yōu)等品有50個(gè)，正品有100個(gè)，次品有50個(gè)，優(yōu)等品、正品和次品的比例為50：100：50=1：2：1．由此按分層抽樣法，能求出n的最小值．
（Ⅲ）計(jì)算分層抽樣的抽取比例，可得每組抽取個(gè)數(shù)；利用列舉法寫出從8個(gè)中隨機(jī)抽取2個(gè)的所有基本事件，分別計(jì)算總個(gè)數(shù)與2個(gè)燈泡中恰好一個(gè)是合格品一個(gè)是次品的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算．

解答： 解：（Ⅰ）由頻率分布表，得：
a=1-0.15-0.35-0.15-0.25=0.1．
b=200-20-30-30-50=70．
（Ⅱ）由表可知：燈泡樣品中優(yōu)等品有50個(gè)，正品有100個(gè)，次品有50個(gè)，
∴優(yōu)等品、正品和次品的比例為50：100：50=1：2：1．
∴按分層抽樣法，購買燈泡數(shù)n=k+2k+k=4k（k∈N^*），
∴n的最小值為4．
（Ⅲ）利用分層抽樣在200個(gè)樣品中抽取8個(gè)燈泡，每個(gè)等級抽取的個(gè)數(shù)分別為：
一等品的個(gè)數(shù)為8×

50

200

=2，合格品的個(gè)數(shù)為8×

100

200

=4，次品的個(gè)數(shù)為8×

50

200

=2，
所以從一等品、合格品、次品分別抽取2個(gè)，4個(gè)，2個(gè)．  
設(shè)一等品的2個(gè)為A、B，合格品的4個(gè)為C₁、C₂、C₃、C₄，次品的2個(gè)為D、E，
則從8個(gè)燈泡中隨機(jī)抽取2個(gè)有：（A，B），（A，C₁），（A，C₂），（A，C₃），
（A，C₄），（A，D），（A，E），（B，C₁），（B，C₂），（B，C₃），（B，C₄），
（B，D），（B，E），（C₁，C₂），（C₁，C₃），（C₁，C₄），（C₁，D），
（C₁，E），（C₂，C₃），（C₂，C₄），（C₂，D），（C₂，E），（C₃，C₄），
（C₃，D），（C₃，E），（C₄，D），（C₄，E），（D，E），共28種可能． 
其中恰好一個(gè)是合格品一個(gè)是次品的有：（C₁，D），（C₁，E），（C₂，D），（C₂，E），
（C₃，D），（C₃，E），（C₄，D），（C₄，E），共8種可能，
所以P=

8

28

=

2

7

．
故恰好一個(gè)是合格品一個(gè)是次品的概率為

2

7

．

點(diǎn)評：本題考查頻率分布表的應(yīng)用，考查分層抽樣的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題．