Question

已知函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，且f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，求：
（1）f（x）的解析式；
（2）f（x）在區(qū)間上[-1，1]的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，由f（0）=1求出c，然后利用f（x+1）-f（x）=2x，得到a，b，求出解析式；（2）利用（1）中的解析式配方，得到當(dāng)x=

1

2

時(shí)，二次函數(shù)取最小值，x=-1時(shí)取最大值．

解答： 解：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，由f（0）=1，得c=1，
由f（x+1）-f（x）=2x，得到
a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x，
整理得2ax+a+b=2x
∴a=1，b=-1，
∴f（x）的解析式為f（x）=x²-x+1．
（2）由（1）得f（x）=x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

，
∴x∈[-1，1]時(shí)，x=

1

2

時(shí)，f（x）的最小值為f（

1

2

）=

3

4

；x=-1時(shí)，f（x）的最大值為f（-1）=3．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法以及其閉區(qū)間上函數(shù)值的最值的求法，注意對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系決定最值．