Question

已知函數(shù)f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，函數(shù)g（x）=f²（x）-2af（x）+3．
（1）若f（2x₀-1）=

3

，求x0；
（2）求g（x）的最小值h（a）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）的解析式，將2x₀-1代入解析式，列出關(guān)于x₀的方程，求解即可得到x₀的值；
（2）根據(jù)g（x）=f²（x）-2af（x）+3且f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，得到函數(shù)g（x）的解析式以及定義域，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論即可求得g（x）的最小值h（a）．

解答：解：（1）∵f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，
∴f（2x₀-1）=(

1

3

)2x0-1，
∵f（2x₀-1）=

3

，
∴(

1

3

)2x0-1=

3

=(

1

3

)-

1

2

，
∴2x₀-1=-

1

2

，
∴x₀=

1

4

，
∵f（x）定義域?yàn)閇-1，1]，
∴（2x_o-1）∈[-1，1]，
∴x₀∈[0，1]，
∴x₀=

1

4

符合題意；
（2）∵g（x）=f²（x）-2af（x）+3，且f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，
∴g（x）=[(

1

3

)x-a]2+3-a2，
∵f（x）定義域?yàn)閇-1，1]，
∴g（x）定義域也為[-1，1]，
令t=(

1

3

)x，由-1≤x≤1，
∴

1

3

≤t≤3，
∴g（x）=?（t）═（t-a）²+3-a²，
對稱軸為t=a，
①當(dāng)a≥3時(shí)，函數(shù)?（t）=在[

1

3

，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)?（t）取得最小值為?（3）=12-6a，
∴h（a）=12-6a；
②當(dāng)a≤

1

3

時(shí)，函數(shù)?（t）=在[

1

3

，3]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴當(dāng)t=

1

3

時(shí)，函數(shù)?（t）取得最小值為?（

1

3

）=

28

9

-

2

3

a，
∴h（a）=

28

9

-

2

3

a；
③當(dāng)

1

3

＜a＜3時(shí)，函數(shù)?（t）在對稱軸t=a處取得最小值為?（a）=3-a²，
∴h（a）=3-a²．
綜合①②③，可得h（a）=

12-6a，a≥3 28 9 - 2 3 a，a≤ 1 3 3-a2， 1 3 ＜a＜3

．
∴g（x）的最小值h（a）=

12-6a，a≥3 28 9 - 2 3 a，a≤ 1 3 3-a2， 1 3 ＜a＜3

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值的應(yīng)用．函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于對應(yīng)方程的根，等價(jià)于函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解題時(shí)要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．本題求函數(shù)的最值的時(shí)候運(yùn)用了換元法求解，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，對于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．屬于中檔題．