Question

5．已知P是△ABC內(nèi)一點，$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+4$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，現(xiàn)將一粒黃豆撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合共線向量充要條件，得點P是△ABC邊BC上的中線AO的三等分點．再根據(jù)幾何概型公式，將△PBC的面積與△ABC的面積相除可得本題的答案．

解答 解：以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，則$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PD}$，
∵$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+4$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=-4$\overrightarrow{PA}$，得$\overrightarrow{PD}$=-4$\overrightarrow{PA}$
∴$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PO}$=-4$\overrightarrow{PA}$，即$\overrightarrow{PO}$=-2$\overrightarrow{PA}$，
由此可得，P是△ABC邊BC上的中線AO的一個三等分點，
點P到BC的距離等于A到BC的距離的$\frac{2}{3}$．
∴S_△PBC=$\frac{2}{3}$S_△ABC．
將一粒黃豆隨機撒在△ABC內(nèi)，黃豆落在△PBC內(nèi)的概率為P=$\frac{{S}_{△PBC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{2}{3}$，
故選：C．

點評 本題給出點P滿足的條件，求P點落在△PBC內(nèi)的概率，著重考查了平面向量加法法則、向量共線的充要條件和幾何概型等知識．