Question

1．已知向量$\overrightarrow a=（cosωx，sinωx）$，$\overrightarrow b=（cosωx，\sqrt{3}cosωx）$，其中ω＞0，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$，其最小正周期為π．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式及單調(diào)減區(qū)間；
（2）在△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，S為其面積，若f（$\frac{A}{2}$）=1，b=1，S_△ABC=$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，得出結(jié)論．
（2）由f（$\frac{A}{2}$）=1，求得A=$\frac{π}{3}$，根據(jù)S_△ABC =$\sqrt{3}$，求得 c=4，再利用余弦定理求得a=$\sqrt{^{2}{+c}^{2}-2bc•cosA}$ 的值．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$=cos²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
其最小正周期為$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）在△ABC中，∵f（$\frac{A}{2}$）=sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴A=$\frac{π}{3}$，又 b=1，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$•1•c•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴c=4，∴a=$\sqrt{^{2}{+c}^{2}-2bc•cosA}$=$\sqrt{1+16-8•\frac{1}{2}}$=$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．