Question

7．直線y=k（x-3）+4與曲線y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式和圓的方程，可得直線l經(jīng)過點(diǎn)（3，4），曲線C表示以（0，1）圓心半徑為2的圓的上半圓．求出半圓切線的斜率和直線與半圓相交時(shí)斜率的值，即可得到本題答案．

解答 解：∵直線l：y=k（x-3）+4經(jīng)過定點(diǎn)（3，4），
曲線y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$，化簡得x²+（y-1）²=4，表示以（0，1）圓心半徑為2的圓的上半圓，
∴直線l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，即直線與半圓相交，
求得當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，斜率k=$\frac{9-2\sqrt{14}}{5}$，
當(dāng)直線l為經(jīng)過點(diǎn)（-2，1）時(shí)，k=$\frac{3}{5}$，當(dāng)直線l為經(jīng)過點(diǎn)（2，1）時(shí)，k=3．
∵直線y=k（x-3）+4與曲線y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$有一個(gè)交點(diǎn)，
∴k的取值范圍為（$\frac{3}{5}$，3]∪{$\frac{9-2\sqrt{14}}{5}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題以兩條曲線有兩個(gè)交點(diǎn)為例，求斜率k的范圍，著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．