Question

15．已知函數(shù)f（x）=10（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$）cos$\frac{x}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周朋；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度，再向下平移a（a＞0）個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，且函數(shù)g（x）的最大值為2．
（i）求函數(shù)g（x）的解析式：
（ii）證明：存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x₀，使得g（x₀）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式可得：f（x）=10$sin（x+\frac{π}{6}）$+5，即可得出函數(shù)f（x）的最小正周朋T；
（2）（i）利用三角函數(shù)的平移變換法則可得：g（x）=10sinx+5-a，當sinx=1時，函數(shù)g（x）取得最大值10+5-a=2，解得a．
（ii）由g（x）=10sinx-8＞0，解得sinx＞$\frac{4}{5}$．解得2kπ+arcsin$\frac{4}{5}$＜x＜2kπ+π-arcsin$\frac{4}{5}$，由于$\frac{π}{4}＜$arcsin$\frac{4}{5}$$＜\frac{π}{3}$，可得$\frac{π}{2}$＜2arcsin$\frac{4}{5}$＜$\frac{2π}{3}$，可知對于一個確定的整式k，都有2kπ+π-arcsin$\frac{4}{5}$-（2kπ+arcsin$\frac{4}{5}$）=π-2arcsin$\frac{4}{5}$∈$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$.$\frac{π}{3}$＞1，即可證明．

解答 （1）解：f（x）=5$\sqrt{3}$sinx+5（1+cosx）
=10$sin（x+\frac{π}{6}）$+5，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π；
（2）（i）解：將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度，再向下平移a（a＞0）個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，
則g（x）=10sin$（x+\frac{π}{6}-\frac{π}{6}）$+5-a=10sinx+5-a，
當sinx=1時，函數(shù)g（x）取得最大值10+5-a=2，解得a=13．
∴g（x）=10sinx-8．
（ii）證明：由g（x）=10sinx-8＞0，解得sinx＞$\frac{4}{5}$．
解得2kπ+arcsin$\frac{4}{5}$＜x＜2kπ+π-arcsin$\frac{4}{5}$，
∵$\frac{π}{4}＜$arcsin$\frac{4}{5}$$＜\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{2}$＜2arcsin$\frac{4}{5}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴對于一個確定的整式k，都有2kπ+π-arcsin$\frac{4}{5}$-（2kπ+arcsin$\frac{4}{5}$）=π-2arcsin$\frac{4}{5}$∈$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$．
∵$\frac{π}{3}$＞1，
∴存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x₀∈（2kπ+arcsin$\frac{4}{5}$，2kπ+π-arcsin$\frac{4}{5}$），
使得g（x₀）＞0．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質、平移變換，考查了數(shù)形結合能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．