Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)，且在第一象限．若△PF₁F₂為直角三角形，試判斷直線PF₁與圓O：x²+y²=的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（1）由題意可得a=2，c=5，
∴b²=a²-c²=15．
∴橢圓C的方程為+=1．
（2）圓O：x²+y²=的圓心為原點(diǎn)，半徑r=．
①當(dāng)∠PF₂F₁為直角時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，）．
直線PF₁的方程為y=（x+5）．此時圓心到直線PF₁的距離為＜．
∴直線PF₁與圓O：x²+y²=相交．
②當(dāng)∠F₁PF₂為直角時，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．聯(lián)立解得
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）．
則點(diǎn)P到橢圓右焦點(diǎn)（5，0）的距離為．
利用三角形的中位線定理可得圓心O到直線PF₁的距離為．
所以直線PF₁與圓O：x²+y²=相切．
分析：（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出；
（2）①當(dāng)∠PF₂F₁為直角時，求得直線PF₁的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷出；
②當(dāng)∠F₁PF₂為直角時，聯(lián)立解出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得到圓心到直線PF₁的距離，即可判斷出結(jié)論．
點(diǎn)評：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、分類討論的思想方法、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．