Question

【題目】由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形是邊長為的正方形，為與的交點，為的中點，平面．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若直線與平面所成的角為，求線段的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證明出平面；

（Ⅱ）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，設，計算出平面的一個法向量，利用直線與平面所成的角為，計算出的值，進而得解.

（Ⅰ）取的中點，連接、，

由于為四棱柱，所以，且，

四邊形為平行四邊形，則且，

、分別為、的中點，所以，且，

因此四邊形為平行四邊形，所以．

又平面，平面，所以平面；

（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系，設，

易知、、、，從而可得．

設平面的法向量為，

又，，故有，解得，

可取．

由題意得，

解得，即線段的長為．