Question

7．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，點(diǎn)P在邊AB上，設(shè)$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$（λ＞0），過點(diǎn)P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F．沿PE將△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF將△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（1）求證：B′C∥平面A′PE；
（2）是否存在正實(shí)數(shù)λ，使得二面角C-A′B′-P的大小為60°？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用線面平行的判定定理即可證明FC∥平面A'PE．再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明B′F∥A′E，進(jìn)而得到B'F∥平面A'PE．利用面面平行的判定定理即可得到
平面B'CF∥平面A'PE，從而得到線面平行；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，由已知結(jié)合$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$（λ＞0）求得所用點(diǎn)的坐標(biāo)，把二面角C-A′B′-P的大小為60°轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量的夾角列式求得λ的值．

解答 （1）證明：∵FC∥PE，F(xiàn)C?平面A'PE，∴FC∥平面A'PE．
∵平面A'PE⊥平面ABC，且A'E⊥PE，∴A'E⊥平面ABC．
同理，B'F⊥平面ABC，∴B'F∥A'E，從而B'F∥平面A'PE．
∴平面B'CF∥平面A'PE，從而B'C∥平面A'PE；
（2）解：存在正實(shí)數(shù)λ=$\frac{7±3\sqrt{5}}{2}$，使得二面角C-A′B′-P的大小為60°．
事實(shí)上，以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
∵AC=BC=a，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$（λ＞0），
∴C（0，0，0），A′（0，$\frac{a}{1+λ}$，$\frac{λa}{1+λ}$），B′（$\frac{λa}{1+λ}$，0，$\frac{a}{1+λ}$），P（$\frac{λa}{λ+1}$，$\frac{a}{λ+1}$，0）．
∴$\overrightarrow{CA′}$=（0，$\frac{a}{1+λ}$，$\frac{λa}{1+λ}$），$\overrightarrow{A′B′}$=（$\frac{λa}{λ+1}$，-$\frac{a}{λ+1}$，$\frac{（1-λ）a}{λ+1}$），$\overrightarrow{B′P}$=（0，$\frac{a}{1+λ}$，-$\frac{a}{1+λ}$）．
平面CA'B'的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{1}{λ}$，λ，-1），平面PA'B'的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
由$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|\frac{1}{λ}+λ-1|}{\sqrt{\frac{1}{{λ}^{2}}+{λ}^{2}+1}•\sqrt{3}}$=cos60°=$\frac{1}{2}$，
化簡得$\frac{1}{{λ}^{2}}+{λ}^{2}-\frac{8}{λ}$-8λ+9=0，解得λ=$\frac{7±3\sqrt{5}}{2}$．
∴存在正實(shí)數(shù)λ=$\frac{7±3\sqrt{5}}{2}$，使得二面角C-A′B′-P的大小為60°．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．