Question

已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=

4-|8x-12|，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

則下列結論正確的是（　　）

• A、函數(shù)f（x）的值域為[1，4]
• B、關于x的方程f（x）-

  1

  2n

  =0（n∈N^*）有2n+4個不相等的實數(shù)根
• C、當x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的面積為3
• D、不存在實數(shù)x₀，使不等式x₀f（x₀）＞6成立

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由分段函數(shù)，求出1≤x≤2，2≤x≤4，4≤x≤8函數(shù)的表達式，畫出草圖，通過圖象可知函數(shù)的值域為[0，4]，
可判斷A；當n=1時，f（x）-

1

2

=0有7個不相等的實根，可判斷B；當x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N*），時，函數(shù)f（x）的最高點為2^3-n，可求出與x軸圍成的面積可判斷C；函數(shù)f（x）的最高點都在曲線y=

6

x

（x＞0）上，可判斷D．

解答： 解：當1≤x≤

3

2

時，f（x）=8x-8；

3

2

≤x≤2時，f（x）=16-8x；
設2≤x≤3，則1≤

x

2

≤

3

2

，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=2x-4；
3≤x≤4，則

3

2

≤

x

2

≤2，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=8-2x；
4≤x≤6，則2≤

x

2

≤3，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=

x

2

-2；
6≤x≤8，則3≤

x

2

≤4，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=4-

x

2

．
畫出草圖，
知函數(shù)的值域為[0，4]，
故A錯；
當n=1時，f（x）-

1

2

=0在[1，8]上有6個不相等的實根，[8，16]上只有一個實根，以后再沒有了，
共有7個不相等的實根，
故B錯；
函數(shù)f（x）的最高點為以4為首項，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
故當x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N*），時，函數(shù)f（x）的最高點為2^3-n，與x軸圍成的面積為

1

2

×2^3-n×2^n-1=2．故C錯；
函數(shù)f（x）的最高點都在曲線y=

6

x

（x＞0）上，故D正確．
故選D．

點評：本題考查分段函數(shù)及運用，考查函數(shù)的表達式和值域，等比數(shù)列的通項及運用，考查數(shù)形結合的能力，判斷能力，屬于中檔題．