Question

7．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{3}{5}$，且a_n=2-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}$（n≥2），數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{{a_n}-1}}$．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}中最大項、最小項．

Answer 1

分析 （1）b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，即可證明．
（2）由（1）可得：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2n-7}{2}$，解得a_n=1+$\frac{2}{2n-7}$，可得：n≥4時，{a_n}單調(diào)遞減，a_n＞1；n≤3時，{a_n}單調(diào)遞減，a_n＜1．即可得出．

解答 （1）證明：b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=-$\frac{5}{2}$．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，公差為1，首項為-$\frac{5}{2}$．
（2）解：由（1）可得：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-$\frac{5}{2}$+（n-1）=$\frac{2n-7}{2}$，
解得a_n=1+$\frac{2}{2n-7}$，
可得：n≥4時，{a_n}單調(diào)遞減，a_n＞1；n≤3時，{a_n}單調(diào)遞減，a_n＜1．
可得：n=4時，a_n取得最大值，1+$\frac{2}{2×4-7}$=3．
n=3時，a_n取得最小值，1+$\frac{2}{2×3-7}$=-1．

點評 本題考查了數(shù)列答題關(guān)系、作差法、等差數(shù)列的定義通項公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．