Question

設S為滿足下列兩個條件的實數所構成的集合，

①S內不含1；

②若a∈S，則∈S.

解答下列問題：

（1）若2∈S，則S中必有其他兩個數，求出這兩個數；

（2）求證：若a∈S，則1-∈S；

（3）在集合S中元素的個數能否只有一個？請說明理由.

 

Answer 1

思路解析：理解集合中元素的屬性是解決問題的突破口，由（1）、（2）知S中不能只有一個元素，對問題（3），若從正面考慮有困難，可逆向思考，即正難則反.

（1）解：∵2∈S，∴∈S，即-1∈S.

∴∈S，即∈S.

（2）證明：∵a∈S，∴∈S.

∴=1-∈S.

（3）解：（用反證法）假設S中只有一個元素，則有a=1-，即a²-a+1=0，方程無實數解，∴集合S中不能只有一個元素.