Question

11．在△ABC中，A=120°，AB=4．若點(diǎn)D在邊BC上，且$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，AD=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，則AC的長(zhǎng)為3．

Answer 1

分析 畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，利用$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，得出$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=2（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$），再利用平面向量的數(shù)量積求出|$\overrightarrow{AC}$|即可

解答 解：如圖所示：
△ABC中，∠BAC=120°，AB=4，點(diǎn)D在邊BC上，$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=2（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$），
∴3$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$，
兩邊平方得9$\overrightarrow{AD}$²=4$\overrightarrow{AC}$²+4$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AB}$²，
又AD=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，
∴9×（$\frac{2\sqrt{7}}{3}$）²=4$\overrightarrow{AC}$²+4×|$\overrightarrow{AC}$|×4×cos120°+4²，
化簡(jiǎn)得|$\overrightarrow{AC}$|²-2|$\overrightarrow{AC}$|-3=0，
解得|$\overrightarrow{AC}$|=3或|$\overrightarrow{AC}$|=-1（不合題意舍去），
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算求三角形邊長(zhǎng)的應(yīng)用問(wèn)題．