Question

17．在正項等比數(shù)列{a_n}中，已知a₄=$\frac{1}{2}$，a₅+a₆=3，則a₁a₂…a_n的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{256}$
• B． $\frac{1}{512}$
• C． $\frac{1}{1024}$
• D． $\frac{1}{2048}$

Answer 1

分析 設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}公比為q（q＞0），由題意和等比數(shù)列的通項公式列出方程組，求出q和a₁的值，由等比數(shù)列的通項公式求出a_n，代入a₁a₂…a_n利用指數(shù)的運(yùn)算化簡，由二次函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、n的范圍求出答案．

解答 解：設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}公比為q（q＞0），
∵a₄=$\frac{1}{2}$，a₅+a₆=3，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{3}=\frac{1}{2}}\\{{a}_{1}{q}^{4}+{a}_{1}{q}^{5}=3}\end{array}\right.$，
解得a₁=$\frac{1}{16}$，q=2，
∴a_n=$\frac{1}{16}•{2}^{n-1}$=2^n-5，
∴a₁a₂…a_n=2^-42^-3…2^n-5=${2}^{\frac{n（-4+n-5）}{2}}$
=${2}^{\frac{{n}^{2}-9n}{2}}$，
∵當(dāng)n=$\frac{9}{2}$時$\frac{{n}^{2}-9n}{2}$取最小值，此時${2}^{\frac{{n}^{2}-9n}{2}}$取最小值，
∴當(dāng)n=4或5時，a₁a₂…a_n取到最小值是2^-10=$\frac{1}{1024}$，
故選C．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，二次函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，及指數(shù)的運(yùn)算法則，考查方程思想．