Question

（12分）（2010•安徽）已知橢圓E經過點A（2，3），對稱軸為坐標軸，焦點F1，F2在x軸上，離心率．

（1）求橢圓E的方程；

（2）求∠F1AF2的平分線所在直線l的方程；

（3）在橢圓E上是否存在關于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）2x﹣y﹣1=0；

（3）BC中點為（2，3）與A重合，不成立，所以不存在滿足題設條件的相異的兩點．

【解析】

試題分析：（1）設出橢圓方程，根據橢圓E經過點A（2，3），離心率，建立方程組，求得幾何量，即可得到橢圓E的方程；

（2）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分線性質，即可求得∠F1AF2的平分線所在直線l的方程；

（3）假設存在B（x1，y1）C（x2，y2）兩點關于直線l對稱，設出直線BC方程代入，求得BC中點代入直線2x﹣y﹣1=0上，即可得到結論．

【解析】
（1）設橢圓方程為

∵橢圓E經過點A（2，3），離心率

∴，

∴a2=16，b2=12

∴橢圓方程E為：；

（2）F1（﹣2，0），F2（2，0），

∵A（2，3），

∴AF1方程為：3x﹣4y+6=0，AF2方程為：x=2

設角平分線上任意一點為P（x，y），則．

得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0

∵斜率為正，∴直線方程為2x﹣y﹣1=0；

（3）假設存在B（x1，y1）C（x2，y2）兩點關于直線l對稱，∴

∴直線BC方程為代入得x2﹣mx+m2﹣12=0，

∴BC中點為

代入直線2x﹣y﹣1=0上，得m=4．

∴BC中點為（2，3）與A重合，不成立，所以不存在滿足題設條件的相異的兩點．