Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{2x+1}$，若數(shù)列{a_n}（n∈N^*）滿足：a₁=1，a_n+1=f（a_n）
（1）證明數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足：c_n=$\frac{3^n}{a_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=f（a_n）=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，兩邊取倒數(shù)可得；$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，即可證明．
（2）c_n=$\frac{3^n}{a_n}$=（2n-1）•3ⁿ，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=f（a_n）=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，兩邊取倒數(shù)可得；$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$為等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（2）解：c_n=$\frac{3^n}{a_n}$=（2n-1）•3ⁿ，
∴數(shù)列{c_n}的前n項的和S_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
3S_n=3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=$\frac{2×3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-3-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=2（1-n）•3ⁿ⁺¹-6，
∴S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．