Question

已知f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）設函數(shù)在（0，1]上是增函數(shù)，且對于（0，1]內的任意兩個變量s，t，恒有f（s）≥φ（t）成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）設，求證：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）．

Answer 1

解：（1），依題意，當x∈（1，2]時，f'（x）≥0恒成立，即a≤（2x²）_min?a≤2.，當x∈（0，1）時，g'（x）≤0恒成立，即a≥2，所以a=2．…
（2），所以f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，最小值是f（1）=1.在（0，1]上是增函數(shù)，即恒成立，得b≥-1，且φ（x）的最大值是φ（1）=2b-1，
由已知得1≥2b-1?b≤1，所以b的取值范圍是[-1，1]．…
（3），
n=1時不等式左右相等，得證；
n≥2時，=，
所以[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）成立．…
分析：（1）依題意，當x∈（1，2]時，f'（x）≥0恒成立，即a≤（2x²）_min可得a≤2，當x∈（0，1）時，g'（x）≤0恒成立，即a≥2，從而可求a
（2）由導數(shù)可得f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，最小值是f（1）=1.在（0，1]上是增函數(shù)可得恒成立，得b≥-1，且φ（x）的最大值是φ（1）=2b-1，則1≥2b-1可求b的范圍
（3）由已知可得h（x）=x+
n=1時不等式左右相等，得證；n≥2時，利用二項展開式進行放縮可證
點評：本題主要考查了由函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值的相互轉化，利用二項展開式的進行證明不等式，屬于知識的綜合考查