Question

6．高為$\sqrt{2}$的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．．

Answer 1

分析 由題意可知ABCD 是小圓，對角線長為 $\sqrt{2}$，四棱錐的高為 $\sqrt{2}$，推出高就是四棱錐的一條側(cè)棱，最長的側(cè)棱就是球的直徑，然后利用勾股定理求出底面ABCD的中心與頂點S之間的距離．

解答 解：由題意可知ABCD 是小圓，對角線長為$\sqrt{2}$，四棱錐的高為$\sqrt{2}$，點S，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，球的直徑為2，所以四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面的一個頂點，最長的側(cè)棱就是直徑，所以底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為：$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查球的內(nèi)接多面體的知識，能夠正確推出四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面的一個頂點，最長的側(cè)棱就是直徑是本題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力，計算能力．