Question

4．若二項式（$\frac{5}{x}-x\sqrt{x}$）ⁿ（n∈N^*）展開式中含有x²項，當n取最小值，展開式的各項系數(shù)之和為64．

Answer 1

分析 二項式（$\frac{5}{x}-x\sqrt{x}$）ⁿ（n∈N^*）展開式中T_r+1=（-1）^r5^n-r${∁}_{n}^{r}$${x}^{\frac{5}{2}r-n}$，令$\frac{5r}{2}$-n=2，可得n=$\frac{5r}{2}$-2，當r=2時，n取得最小值3．進而得出．

解答 解：二項式（$\frac{5}{x}-x\sqrt{x}$）ⁿ（n∈N^*）展開式中T_r+1=${∁}_{n}^{r}$$（\frac{5}{x}）^{n-r}$$（-x\sqrt{x}）^{r}$=（-1）^r5^n-r${∁}_{n}^{r}$${x}^{\frac{5}{2}r-n}$，
令$\frac{5r}{2}$-n=2，可得n=$\frac{5r}{2}$-2，當r=2時，n取得最小值3．
此時$（\frac{5}{x}-x\sqrt{x}）^{3}$中，令x=1，可得展開式的各項系數(shù)之和=（5-1）³=64．
故答案為：64．

點評 本題考查了二項式定理的性質及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．