13.如圖,在三角形ABC中,AB=2,AC=1,cos∠BAC=$\frac{1}{3}$,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D.
(1)求邊BC長(zhǎng)及$\frac{BD}{DC}$的值;
(2)求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的值.

分析 (1)利用余弦定理即可求出邊長(zhǎng)BC,再利用角平分線定理求出$\frac{BD}{DC}$的值;
(2)根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算,即可求出$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的值.

解答 解:(1)△ABC中,AB=2,AC=1,cos∠BAC=$\frac{1}{3}$,
∴BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos∠BAC
=22+12-2×2×1×$\frac{1}{3}$
=$\frac{11}{3}$,
∴BC=$\sqrt{\frac{11}{3}}$=$\frac{\sqrt{33}}{3}$;
又∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{1}$=2;
(2)$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BA}$•($\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$)
=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AB}$
=|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos(π-∠BAC)+${|\overrightarrow{AB}|}^{2}$
=2×1×(-$\frac{1}{3}$)+22
=$\frac{10}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與線性運(yùn)算問(wèn)題,也考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題,是綜合性題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(3)若在[1,e]上存在一點(diǎn)x0,使得f′(x0)+$\frac{1}{{f'({x_0})}}$<g(x0)-g′(x0)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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