Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的圖象與x軸相切于點（3，0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）+f（x）=-6x²+（3c+9）x，命題p：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|＞1為假命題，求實數(shù)c的取值范圍；
（Ⅲ）若h（x）+f（x）=x³-7x²+9x+clnx（c是與x無關(guān)的負數(shù)），判斷函數(shù)h（x）有幾個不同的零點，并說明理由．

Answer 1

分析 （I）f′（x）=3x²+2ax+b，由于函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的圖象與x軸相切于點（3，0）．可得f′（3）=27+6a+b=0，f（3）=27+9a+3b=0，聯(lián)立解得a，b．即可得出．
（II）命題p：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|＞1為假命題，等價于：命題：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤1為真命題．由g（x）+f（x）=-6x²+（3c+9）x，可得g（x）=-x³+3cx．由命題：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤1為真命題，可得|g（1）-g（-1）|≤1，解得c范圍．又g′（x）=-3x²+3c=-3$（x+\sqrt{c}）$$（x-\sqrt{c}）$．利用單調(diào)性與奇偶性，只需|g（$\sqrt{c}$）-g（-$\sqrt{c}$）|≤1，解得c，進而得出c的取值范圍．
（III）h（x）+f（x）=x³-7x²+9x+clnx（c是與x無關(guān)的負數(shù)），h（x）=clnx-x²，（x＞0）．h′（x）=$\frac{c}{x}$-2x＜0，因此函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，h（x）至多有一個零點．再利用函數(shù)零點判定定理即可判斷出是否有零點．

解答 解：（I）f′（x）=3x²+2ax+b，∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的圖象與x軸相切于點（3，0）．
∴f′（3）=27+6a+b=0，f（3）=27+9a+3b=0，聯(lián)立解得：a=-6，b=9．
∴f（x）=x³-6x²+9x．
（II）命題p：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|＞1為假命題，等價于：命題：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤1為真命題．∵g（x）+f（x）=-6x²+（3c+9）x，∴g（x）=-x³+3cx．
由命題：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤1為真命題，可得|g（1）-g（-1）|≤1，解得：$\frac{1}{6}≤c≤\frac{1}{2}$．
又g′（x）=-3x²+3c=-3$（x+\sqrt{c}）$$（x-\sqrt{c}）$．可得：函數(shù)g（x）在$[-1，-\sqrt{c}）$，$（\sqrt{c}，1]$內(nèi)為減函數(shù)，在$[-\sqrt{c}，\sqrt{c}]$內(nèi)為增函數(shù)．
∵函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，且|g（1）-g（-1）|≤1，∴只需|g（$\sqrt{c}$）-g（-$\sqrt{c}$）|≤1，則：4c$\sqrt{c}$≤1，解得c≤$\frac{\root{3}{4}}{4}$．
綜上可得：c的取值范圍是$\frac{1}{6}$≤c≤$\frac{\root{3}{4}}{4}$．
（III）h（x）+f（x）=x³-7x²+9x+clnx（c是與x無關(guān)的負數(shù)），∴h（x）=clnx-x²，（x＞0）．
h′（x）=$\frac{c}{x}$-2x＜0，因此函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，h（x）至多有一個零點．
∵c＜0，∴（c-1）²＞1，0＜${e}^{\frac{（c-1）^{2}}{c}}$＜1，∴$h（{e}^{\frac{（c-1）^{2}}{c}}）$=（c-1）²-${e}^{\frac{（c-1）^{2}}{c}}$•${e}^{\frac{（c-1）^{2}}{c}}$＞0，h（1）=-1＜0．
∴函數(shù)h（x）在$（{e}^{\frac{（c-1）^{2}}{c}}，1）$內(nèi)有一個零點，因此函數(shù)h（x）在（0，+∞）上恰有一個零點．

點評 本題考查了利用對數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值與切線方程、等價轉(zhuǎn)化問題、函數(shù)零點問題，考查了樓梯那里與計算能力，屬于難題．