Question

7．在極坐標(biāo)系中，設(shè)直線l過點(diǎn)A（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），B（a，0），且直線l與曲線C：ρ=cosθ有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求正數(shù)a的值．

Answer 1

分析 先求得直線l的普通方程，把曲線C：ρ=acosθ（a＞0）的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．因?yàn)橹本�l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得圓心到直線的距離等于圓半徑，由此解得a的值

解答 解：依題意，A（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），B（a，0）的直角坐標(biāo)為A（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（a，0），
從而直線l的普通方程為$\frac{y}{x-a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}-a}$，即$\sqrt{3}x+（2a-3）y-\sqrt{3}a$=0．
曲線C：ρ=cosθ的直角坐標(biāo)方程為 （x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$．
∵直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}a|}{\sqrt{3+（2a-3）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$或a=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$（舍）．
∴正數(shù)a的值為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．