Question

19．第96屆（春季）全國糖酒商品交易會于2017年3月23日至25日在四川舉辦．交易會開始前，展館附近一家川菜特色餐廳為了研究參會人數(shù)與餐廳所需原材料數(shù)量的關(guān)系，查閱了最近5次交易會的參會人數(shù)x（萬人）與餐廳所用原材料數(shù)量t（袋），得到如下數(shù)據(jù)：

	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
參會人數(shù)x（萬人）	11	9	8	10	12
原材料t（袋）	28	23	20	25	29

（Ⅰ）請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù)，求出t關(guān)于x的線性回歸方程$\hat t=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）已知購買原材料的費用C（元）與數(shù)量t（袋）的關(guān)系為$C=\left\{\begin{array}{l}300t+20，（{0＜t＜35，t∈N}）\\ 290t，（{t≥35，t∈N}）\end{array}\right.$投入使用的每袋原材料相應(yīng)的銷售收入為600元，多余的原材料只能無償返還．若餐廳原材料現(xiàn)恰好用完，據(jù)悉本次交易會大約有14萬人參加，根據(jù)（Ⅰ）中求出的線性回歸方程，預(yù)測餐廳應(yīng)購買多少袋原材料，才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？（注：利潤L=銷售收入-原材料費用）．
（參考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$）

Answer 1

分析 （1）由題意求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$，代入公式求值，從而得到回歸直線方程；
（2）由（Ⅰ）中求出的線性回歸方程，當(dāng)x=14時，$\overline{t}$，根據(jù)分段函數(shù)C討論其利潤．

解答 解：（Ⅰ）由數(shù)據(jù)，求得$\overline x=\frac{9+11+12+10+8}{5}=10$，$\overline t=\frac{23+28+29+25+20}{5}=25$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{t_i}=11×2+9×23}+8×20+$10×25+12×29=1273，
$\sum_{i=1}^5{x_i^2={{11}^2}+{9^2}+{8^2}+}$10²+12²=510，
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{t_i}-n\overline x\overline t}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{1273-5×10×25}{{510-5×{{10}^2}}}=2.3$，
$\hat a=\overline t-$$\hat b•\overline x=2$，
∴t關(guān)于x的線性回歸方程為$\hat t=2.3x+2$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的線性回歸方程，當(dāng)x=14時，$\hat t=34.2$，
即預(yù)計需要原材料34.2袋，
∵$C=\left\{\begin{array}{l}300t+20\\ 290t\end{array}\right.$$\begin{array}{l}（{0＜t＜35，t∈N}），\\（{t≥35，t∈N}），\end{array}$
∴，若t＜35，利潤L=600t-（300t+20）=300t-20，
當(dāng)t=34時，利潤L_max=300×34-20=10180元；
若t≥35，利潤L=600×34.2-290t=20520-290t，
當(dāng)t=35時，利潤L_max=20520-290×35=10370元；
綜上所述，該餐廳應(yīng)購買35袋原材料，才能獲得最大利潤，最大利潤是10370元．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題