Question

已知直二面角α-PQ-β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB，∠BAP=45°，直線CA和平面α所成角為30°，那么二面角B-AC-P的正切值為（　�。�

• A、2
• B、3
• C、

  1

  2

• D、

  1

  3

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：綜合題,空間角

分析：在平面β內(nèi)過點(diǎn)C作CO⊥PQ于點(diǎn)O，連接OB，證明BO⊥PQ．過點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H，連接BH，由三垂線定理知，BH⊥AC，故∠BHO是二面角B-AC-P的平面角，然后在Rt△BOH中解出此角即可．

解答： 解：在平面β內(nèi)過點(diǎn)C作CO⊥PQ于點(diǎn)O，連接OB．
因?yàn)棣痢挺�，α∩�?PQ，所以CO⊥α，
又因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)A=OB．
而∠BAO=45°，所以∠ABO=45°，∠AOB=90°．從而BO⊥PQ．
又α⊥β，α∩β=PQ，BO?α，所以BO⊥β．
過點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H，連接BH，由三垂線定理知，BH⊥AC．
故∠BHO是二面角B-AC-P的平面角．
因?yàn)镃O⊥α，所以∠CAO是CA和平面α所成的角，則∠CAO=30°，
不妨設(shè)AC=2，則AO=

3

，OH=AOsin30°=

3

2

．
在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，所以BO=AO=

3

，
于是在Rt△BOH中，tan∠BHO=2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，以及空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．