Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=3，若（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$）=0，則|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的最小值是（　�。�

• A． 2+$\sqrt{3}$
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由題意設(shè)$\overrightarrow{a}=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow=（3，0）$，再設(shè)$\overrightarrow{c}=（x，y）$，由（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$）=0可得$\overrightarrow{c}$的終點(diǎn)的軌跡，數(shù)形結(jié)合即可得到|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的最小值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=3，
∴設(shè)$\overrightarrow{a}=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow=（3，0）$，
再設(shè)$\overrightarrow{c}=（x，y）$，→
由（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$）=0，
得（x-2，y-$2\sqrt{3}$）•（x-2，y）=0，
即$（x-2）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=3$．
∴$\overrightarrow{c}$的終點(diǎn)在以（2，$\sqrt{3}$）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓上，
如圖，
∴|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的最小值是$\sqrt{（2-3）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．