Question

3．設(shè)數(shù)列的前項和為S_n，且{${\frac{S_n}{n}}$}是等差數(shù)列，已知a₁=3，$\frac{S_2}{2}$+$\frac{S_3}{3$+$\frac{S_4}{4}$=15．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令 c_n=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}{S_n}（n為奇數(shù)）}\\{{2^{{a_{\frac{n}{2}}}}}（n為偶數(shù)）}\end{array}}$，設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由{${\frac{S_n}{n}}$}是等差數(shù)列，且a₁=3，$\frac{S_2}{2}$+$\frac{S_3}{3$+$\frac{S_4}{4}$=15，得到等差數(shù)列的公差，求得等差數(shù)列的通項公式，進一步求得S_n，再由a_n=S_n-S_n-1即可得出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由a₁=3，a_n=2n+1，得S_n=n（n+2）．則n為奇數(shù)，c_n=$\frac{2}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，n為偶數(shù)，c_n=${2}^{{a}_{\frac{n}{2}}}$=2ⁿ⁺¹．然后分組求和，利用裂項求和及等比數(shù)列的前n項和公式即可得出T_2n．

解答 解：（Ⅰ）∵{${\frac{S_n}{n}}$}是等差數(shù)列，a₁=3，$\frac{S_2}{2}$+$\frac{S_3}{3$+$\frac{S_4}{4}$=15，
∴3×$\frac{{S}_{3}}{3}=15$，即$\frac{{S}_{3}}{3}=5$．
∴$\frac{{S}_{3}}{3}$=$\frac{{S}_{1}}{1}$+d（3-1），即5=3+2d，解得d=1．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}=3+1×（n-1）=n+2$，
∴S_n=n²+2n．
∴a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1（n≥2），
當n=1時，也成立．
∴a_n=2n+1；
（Ⅱ）由a₁=3，a_n=2n+1，得S_n=n（n+2），
則n為奇數(shù)時，c_n=$\frac{2}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，
n為偶數(shù)時，∵a_n=2n+1，
∴${a}_{\frac{n}{2}}=2×\frac{n}{2}+1=n+1$，
則c_n=${2}^{{a}_{\frac{n}{2}}}$=2ⁿ⁺¹．
∴T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c_2n）
=[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）]+（2³+2⁵+…+2²ⁿ⁺¹）
=1-$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{8（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2n}{2n+1}+\frac{8}{3}（{4}^{n}-1）$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“分組求和”、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．