Question

20．知點(diǎn)A，B分別為雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則雙曲線E的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)M在雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左支上，由題意可得M的坐標(biāo)為（-2a，$\sqrt{3}$a），代入雙曲線方程可得a=b，再由離心率公式即可得到所求值．

解答 解：設(shè)M在雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左支上，
且MA=AB=2a，∠MAB=120°，
則M的坐標(biāo)為（-2a，$\sqrt{3}$a），
代入雙曲線方程可得，$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{^{2}}$=1，
可得a=b，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，運(yùn)用任意角的三角函數(shù)的定義求得M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．