Question

已知函數(shù)f(x)=ax2+ln(x+1).

（1）當a=時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

（2）當時，函數(shù)y=f(x)圖像上的點都在所表示的平面區(qū)域內，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）求證：（其中,e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)）

 

Answer 1

（1）的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為（2）（3）見解析

【解析】

試題分析：

（1）函數(shù)f(x)是二次與對數(shù)的結合，求單調性可以利用導數(shù)，以此先求定義域，求導，求導函數(shù)大于0與小于0分別求出單調遞增與單調遞減區(qū)間.

（2）要使得函數(shù)圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內，則當時，

不等式恒成立即可，即轉化了恒成立問題，則只需要,故考慮對求導求單調性來確定函數(shù)在上的最大值，因為導函數(shù)含有參數(shù)a，所以在求解單調性確定最值的過程中需要討論a的范圍，討論需從兩根的大小和0的大小進行分析才能確定的最值，從而得到a的取值范圍.

（3）考慮把不等式兩邊同時去對數(shù)再證明，即證明，利用對數(shù)的乘法公式可以把不等式的左邊化解成為不可求和數(shù)列的和，在利用利用（2）得到當a=0時，ln(1+x)是恒成立的，把不可求和數(shù)列放縮成為可以裂項求和的數(shù)列，裂項利用，進而證明原不等式.

試題解析：

（1）當時，（），

（）， 1分

由解得，由解得．

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為． 3分

（2）因函數(shù)圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內，則當時，

不等式恒成立，即恒成立，

設（），只需即可． 4分

由，

（ⅰ）當時，，當時，，

函數(shù)在上單調遞減，故成立． 5分

（ⅱ）當時，由，因，所以，

①，即時，在區(qū)間上，，則函數(shù)在上單調遞增，

在上無最大值（或：當時，），此時不滿足條件；

②若，即時，函數(shù)在上單調遞減，

在區(qū)間上單調遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件． 8分

（ⅲ）當時，由，∵，∴，

∴，故函數(shù)在上單調遞減，故成立．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是． 10分

（3）據（2）知當時，在上恒成立.

（或另證在區(qū)間上恒成立）， 11分

又，

∵

，

. 14分

考點：導數(shù)單調性恒成立數(shù)形結合不等式