Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=naⁿ（0＜a＜1）且a_n＞a_n+1對(duì)所有正整數(shù)n均成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（

  1

  2

  ，1）
• B、（

  2

  3

  ，1）
• C、（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ）
• D、（0，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：由已知中數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=naⁿ（0＜a＜1）且a_n＞a_n+1對(duì)所有正整數(shù)n均成立，我們易得到a＜

n

n+1

對(duì)所有正整數(shù)n均成立，由于 n=1時(shí)，

n

n+1

取最小值

1

2

，結(jié)合0＜a＜1，即可得到答案．

解答：解：∵a_n＞a_n+1對(duì)所有正整數(shù)n均成立，
即（n+1）•aⁿ⁺¹-n•aⁿ＜0
即（a•n+a-n）•aⁿ＜0
∵aⁿ＞0恒成立
∴n•a+a-n＜0
∴a＜

n

n+1

=1-

1

n+1

≥

1

2

又∵0＜a＜1
∴0＜a＜

1

2

故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的函數(shù)特性，其中根據(jù)已知條件，將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵．