Question

【題目】已知點(diǎn)，直線，且點(diǎn)不在直線上.

（1）若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求證：點(diǎn)到直線的距離；

（3）當(dāng)點(diǎn)在函數(shù)圖像上時(shí)，（2）中的公式變?yōu)?/span>，

請(qǐng)參考該公式，求 的最小值.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）見(jiàn)解析； （3）.

【解析】

（1）把握住點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的關(guān)鍵條件是垂直與平分，列出方程組求得結(jié)果；

（2）可以利用過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，求兩直線的交點(diǎn)即垂足，再用兩點(diǎn)間距離公式求得結(jié)果，也可以用直角三角形斜邊上的高等于兩直角邊的乘積除以斜邊長(zhǎng)，求得結(jié)果；

（3）設(shè)出變量，利用式子，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值問(wèn)題，結(jié)合圖形，求得結(jié)果.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)P，Q關(guān)于直線對(duì)稱，

所以

解得所以．

（2）證法一：設(shè)，根據(jù)定義，點(diǎn)P到直線的距離是點(diǎn)

P到直線的垂線段的長(zhǎng)，如右圖，設(shè)點(diǎn)P到直線的垂線為，

垂足為Q，由可知的斜率為，

所以的方程：．

與聯(lián)立方程組解得交點(diǎn)，

所以

所以．

可證明，當(dāng)時(shí)仍成立．

綜上．

證法二：設(shè)，這時(shí)與軸、軸都相交，

過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線，交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線，交于點(diǎn)，

由得 ，

所以，＝＝ ，＝＝ ，

＝×．

由三角形面積公式可知：·＝·，

所以．

可證明，當(dāng)或時(shí)仍成立．

綜上．

（3）令，

，

則表示函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離，

表示函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離，

所以最小值為 ．