Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}+bx}$（a∈R，b＞0）的定義域和值域相同，則a的值是-4或0．

Answer 1

分析 由已知對a分類求出函數(shù)的定義域及值域，再由定義域和值域相同求得a的值．

解答 解：若a＞0，由于ax²+bx≥0，即x（ax+b）≥0，
∴對于正數(shù)b，f（x）的定義域為D=（-∞，-$\frac{a}$]∪[0，+∞）．
但f（x）的值域為A⊆[0，+∞），故D≠A，不合題意；
若a＜0，對于正數(shù)b，f（x）的定義域為D=[0，-$\frac{a}$]，
由于$f（x）_{max}=f（-\frac{a}）=\frac{2\sqrt{-a}}$．
故函數(shù)的值域A=[0，$\frac{2\sqrt{-a}}$]．
由題意，有$-\frac{a}=\frac{2\sqrt{-a}}$，∵b＞0，∴a=-4；
若a=0，則對于每個正數(shù)b，f（x）=$\sqrt{bx}$的定義域與值域都是[0，+∞），
故a=0滿足條件．
∴a的值是-4或0．

點評 本題考查函數(shù)的定義域及其值域，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，是中檔題．