Question

已知數(shù)列滿足：，.數(shù)列的前項(xiàng)和為，.

（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，.求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個數(shù)列的各項(xiàng)，再由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用方法有：一是求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納總結(jié)出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式；二是將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差數(shù)列或者等比數(shù)列，或用累加法，累乘法，迭代法求通項(xiàng).（2）給出與的關(guān)系，求，常用思路：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與的關(guān)系，再求；（3）一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)的和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后做差求解

試題解析：（Ⅰ）由得，又，

所以是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，.

當(dāng)時，

當(dāng)時，，

，

又時，所以，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以.

所以 （1）

等式兩邊同乘以得

（2）

（1）-（2）得

所以

.

考點(diǎn)：（1）由前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式；（2）錯位相減法求數(shù)列的和