如圖，已知橢圓C：數(shù)學公式與拋物線E：y2=4x有一個公共的焦點F，且兩曲線在第一象限的交點P的橫坐標為數(shù)學公式．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx與拋物線E的交點為O，Q，與橢圓c的交點為M，N（N在線段OQ上），且|MO|=|NQ|． 問滿足條件的直線l有幾條，說明理由．

解：（1）∵拋物線E：y2=4x的焦點F（1，0），∴橢圓的焦點坐標為（±1，0）．
由點P在拋物線y2=4x上，所以P（，）．
又點P在橢圓C上，所以2a=4，所以a=2，
又c=1，故b==，從而橢圓C的方程為 （5分）
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得，消去y可得3x2+4k2x2=12，∴．（7分）
聯(lián)立直線與拋物線得，消去y可得k2x2=4x，解得x=0或x= （9分）
∵|MO|=|NQ|，∴N為線段OQ的中點，∴=，
化簡得3k4-4k2-3=0，解得k2=（負值舍去），故滿足題意的k值有2個．
從而存在過原點O的兩條直線l滿足題意．（12分）
分析：（1）確定橢圓的焦點坐標，點P的坐標，利用點P在橢圓C上，求得a的值，根據(jù)c=1，b=，即可求得橢圓C的方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，可求M的坐標，聯(lián)立直線與拋物線，可求Q的坐標，根據(jù)|MO|=|NQ|，可得N為線段OQ的中點，從而可建立方程，由此可得結論．
點評：本題考查拋物線的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓、拋物線的位置關系，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請說明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關于直線l對稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
b2
+
y2
a2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），拋物線P：x2=2py（p＞0）的焦點與F1重合，過F2的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，與橢圓C相交于A、B兩點，且
F2B
=λ
AF2
．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）若動點T滿足：
ET
=μ(
EF1
+
EF2
)，μ∈(0，
1
2
)，且
ET
•
OT
的最小值為-
5
4
，求拋物線P的方程；
（3）當λ∈[2，4]時，求橢圓離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•廣州模擬）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
4
5
，左、右焦點分別為F1和F2，橢圓C與x軸的兩交點分別為A、B，點P是橢圓上一點（不與點A、B重合），且∠APB=2α，∠F1PF2=2β．
（Ⅰ）若β=45°，三角形F1PF2的面積為36，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當點P在橢圓C上運動，試證明tanβ•tan2α為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年湖南省益陽市桃江四中高考數(shù)學保溫試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：與拋物線E：y2=4x有一個公共的焦點F，且兩曲線在第一象限的交點P的橫坐標為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx與拋物線E的交點為O，Q，與橢圓c的交點為M，N（N在線段OQ上），且|MO|=|NQ|． 問滿足條件的直線l有幾條，說明理由．

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