Question

（2013•西城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=log₂x-2log₂（x+c），其中c＞0．若對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1，則c的取值范圍是（　�。�

• A．(0，

  1

  4

  ]
• B．[

  1

  4

  ，+∞)
• C．(0，

  1

  8

  ]
• D．[

  1

  8

  ，+∞)

Answer 1

分析：把函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）≤1后，利用對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)變形，去掉對(duì)數(shù)符號(hào)后把參數(shù)c分離出來，然后利用二次函數(shù)求最值，則c的取值范圍可求．

解答：解：由f（x）≤1，得：log₂x-2log₂（x+c）≤1，
整理得：log2(x+c)≥log2

x 2

，所以x+c≥

x 2

，
即c≥-x+

2

2

x

（x＞0）．
令

x

=t（t＞0）．
則c≥-t2+

2

2

t．
令g（t）=-t2+

2

2

t，其對(duì)稱軸為t=

2

4

．
所以g(t)max=g(

2

4

)=-(

2

4

)2+

2

2

×

2

4

=

1

8

．
則c≥

1

8

．
所以，對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1的c的取值范圍是[

1

8

，+∞)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)型的函數(shù)及其應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，解答的關(guān)鍵是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，是中檔題．