科目： 來源：2010年浙江省杭州市教考聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

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如圖是一個正三棱柱的三視圖，若三棱柱的體積是，則a=    ．

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在平面幾何里，有：“若△ABC的三邊長分別為a，b，c內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積為S_△ABC=（a+b+c）r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體A-ACD的四個面的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄內(nèi)切球的半徑為r，則四面體的體積為    ．

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P是雙曲線的右支上一動點，F(xiàn)是雙曲線的右焦點，已知A（3，1），則|PA|+|PF|的最小值為    ．

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已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰的一個最高點和最低點之間的距離為．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若 sinα+f（α）=的值．

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如圖，M、N、P分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的點．
（1）若=，求證：無論點P在D₁D上如何移動，總有BP⊥MN；
（2）若D₁P：PD=1：2，且PB⊥平面B₁MN，求二面角M-B₁N-B的余弦值；
（3）棱DD₁上是否總存在這樣的點P，使得平面APC₁⊥平面ACC₁？證明你的結(jié)論．

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設(shè)F₁、F₂是橢圓（a＞b＞0）的左右焦點，A為上頂點，橢圓上的點N滿足：=+λ（λ∈R）．
（1）求實數(shù)λ的取值范圍；
（2）設(shè)λ=，過點N作橢圓的切線分別交左、右準(zhǔn)線于P、Q，直線NF₁、NF₂分別交橢圓于C、D兩點．是否存在實數(shù)m，使=m（+）？若存在，求出實數(shù)m的值，否則說明理由；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上猜想：是否存在實數(shù)n，使=n（+）？若存在寫出n的值．

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已知函數(shù)f（x）=x²+lnx．
（I）已知α是方程xf（x）-x³=2009的根，β是方程xe^x=2009的根，求α•β的值．
（II）求證：在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）圖象在函數(shù)g（x）=x³圖象的下方；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)h（x）=f′（x），求證：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．