若一直線與拋物線y²＝2px(p＞0)交于A、B兩點，且OA⊥OB，點O在直線AB上的射影為D(2，1)，求拋物線方程．

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與＝(3，－1)共線．

(1)求橢圓的離心率；

(2)設M為橢圓上任意一點，且(λ，μ∈R)，證明λ²＋μ²為定值．

橢圓的長軸為AB，P為橢圓上任一點，引AQ⊥AP，BQ⊥BP，AQ與BQ的交點為Q，求點Q的軌跡．

已知雙曲線C的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，實半軸長與虛半軸長的乘積為，直線l過F₂點，且與線段F₁F₂夾角為α，且tanα＝，l與線段F₁F₂垂直平分線的交點為P，線段PF₂與雙曲線的交點為Q，且，求雙曲線方程．

公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個柱子OA，O恰在圓形水面中心，OA＝1.25米．安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路經(jīng)落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖所示，為使水流形狀較為漂亮，設計成水流在到OA距離1米處達到距水面最大高度2.25米．如果不計其它因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外？

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線C：＝1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

如圖所示，已知點A(2，8)，B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)在拋物線y²＝2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合．

(1)寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標；

(2)求線段BC中點M的坐標；

(3)求BC所在直線的方程．

如圖，橢圓＝1(a＞b＞0)與過點A(2，0)、B(0，1)的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e＝．

(1)求橢圓方程；

(2)設F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF₂的中點，求證：∠ATM＝∠AF₁T．

根據(jù)已經(jīng)學習過的圓錐曲線的相關知識，給出能確定橢圓＝1(a＞b＞0)的多種不同條件．

中心是原點O，它的虛軸長為，相應于焦點F(c，0)(c＞0)的準線l與x軸交于點A，且OF＝3OA．過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點．

(1)求雙曲線的方程及離心率；

(2)若＝0，求直線PQ的方程．